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四种典范的递推关系

来源:原创/投稿/转载 发布时间:2019-09-21
摘要:

  在一切的递推关系中,Fibonacci数列应当是最为大年夜家所熟悉的。在最基本的法式榜样设计说话Logo说话中,就有很多这类的标题。而在较为复杂的Basic、Pascal、C说话中,Fibonacci数列类的标题由于解法相对轻易一些,逐步加入了比赛的舞台。可是这不等于说Fibonacci数列没有研究价值,恰好相反,一些此类的标题照样能给我们必定的启发的。

  Fibonacci数列的代表成绩是由意大年夜利有名数学家Fibonacci于1202年提出的“兔子滋长成绩”(又称“Fibonacci成绩”)。

  成绩的提出:有雌雄一对兔子,假定过两个月便可滋长雌雄各一的一对小兔子。问过n个月后共有若干对兔子?

  解:设满x个月共有兔子Fx对,个中当月重生的兔子数量为Nx对。第x-1个月留下的兔子数量设为Ox对。则:

  成绩的提出:Hanoi塔由n个大年夜小不合的圆盘和三根木柱a,b,c构成。开端时,这n个圆盘由大年夜到小顺次套在a柱上,如图1所示。

  解:设hn为n 个盘子从a柱移到c柱所需移动的盘次。明显,当n=1时,只需把a 柱上的盘子直接移动到c柱便可以了,故h1=1。当n=2时,先将a柱下面的小盘子移动到b柱上去;然后将大年夜盘子从a柱移到c 柱;最后,将b柱上的小盘子移到c柱上,共记3个盘次,故h2=3。以此类推,当a柱上有n(n2)个盘子时,总是先借助c柱把下面的n-1个盘子移动到b柱上,然后把a柱最下面的盘子移动到c柱上;再借助a柱把b柱上的n-1个盘子移动到c柱上;总共移动hn-1+1+hn-1个盘次。

  成绩的提出:设有n条封闭曲线画在平面上,而任何两条封闭曲线正好订交于两点,且任何三条封闭曲线不订交于同一点,问这些封闭曲线把平面瓜分红的区域个数。

  解:设an为n条封闭曲线把平面瓜分红的区域个数。 由图2可以看出:a2-a1=2;a3-a2=4;

  a4-a3=6。从这些式子中可以看出an-an-1=2(n-1)。固然,下面的式子只是我们经过过程不雅察4幅图后得出的结论,它的精确性尚不克不及包管。下面无妨让我们来试着证明一下。当平面上已有n-1条曲线个区域后,第n-1条曲线每与曲线订交一次,就会增长一个区域,由于平面上已有了n-1条封闭曲线,且第n条曲线与已有的每条闭曲线正好订交于两点,且不会与任两条曲线交于同一点,故平面上一共增长2(n-1)个区域,加上已有的an-1个区域,一共有an-1+2(n-1)个区域。所以本题的递推关系是an=an-1+2(n-1),界线条件是a1=1。

  n表之,hn即为Catalan数。例如五边形有以下五种拆分筹划(图6-4),故h5=5。求关于一个随便任性的凸n边形照应的hn。

  n表示凸n边形的拆分筹划总数。由标题中的请求可知一个凸n边形的随便任性一条边都必定是一个三角形的一条边,边P1Pn也不例外,

  合营构成一个三角形的三个顶点,就将n边形分红了三个不订交的部分(如图3所示),我们分别称之为区域①、区域②、区域③,个中区域③必定是一个三角形,区域①是一个凸k边形,区域②是一个凸n-k+1边形,区域①的拆分筹划总数是C

  小结:经过过程下面对四种典范的递推关系建立过程的商量,可知对待递推类的标题,要详细情况详细分析,经过过程找到某状况与其前面状况的接洽,建立照应的递推关系。

  例1、在一个正六边形的六个区域中的每个区域染上红、黄、蓝、紫四种色彩之一,请求相邻的两个区域染色不雷同,则有若干种不合的染色办法?

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